las propiedades de los angulos: central, inscrito,interior, exterior y semi-inscrito

Ángulo central es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella.		La medida del arco AB es la del ángulo central AOB. Arco AB = Angulo AOB
Arco AB = Ángulo AOB Esta igualdad nos permite medir en función del ángulo central o arco el resto de ángulos que pueden definirse en la circunferencia.
Angulo inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia. El ángulo semiinscrito, (uno de los segmentos secante y el otro tangente) es un caso particular, o caso límite.		El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende.
Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo.		La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto.
Ángulo exterior es aquel que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia, pudiendo ser sus lados, tangentes o secantes a la misma.		La medida del ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que abarca.
Angulo Semi-Inscrito (en una circunferencia) Ángulo Semi-Inscrito: Es todo ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, uno de los lados es cuerda y el otro es tangente a la circunferencia. Su medida es igual a la mitad de la medida del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

convertir grados a radianes y radianes a grados

-Para pasar grados a radianes, multiplica por (¶/180)
Ej: 60º a radianes → 60 * /(¶/180) = ¶/3

-Para pasar radianes a grados,multiplica por (180/¶)
Ej: ¶/4 a grados →( ¶/4 ) * (180/¶) = 45º

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

1 h  60 min  60 s

1º   60'        60''

Operaciones en el sistema sexagesimal

Suma

1^er paso

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2^o paso

Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.

3^er paso

Se hace lo mismo para los minutos.

Resta

1^er paso

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

2^o paso

Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3^er paso

Hacemos lo mismo con los minutos.

Multiplicación por un número

1^er paso

Multiplicamos los segundos, minutos y horas (o grados) por el número.

2^o paso

Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

3^er paso ·

Se hace lo mismo para los minutos.

División por un número

Dividir 37º 48' 25'' entre 5

1^er paso

Se dividen las horas (o grados) entre el número.

2^o paso

El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos.

3^er paso ·

Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos.

4^o paso

Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos.

Medida compleja

Es aquella que expresa distintas clases de unidades:

3 h 5 min 7s

25° 32' 17''.

Medida incompleja o simple

Se expresa únicamente con una clase de unidades.

3.2 h

5.12º.

Paso de medidas complejas a incomplejas

Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener, como resultado final.

Pasar a segundos 3 h 36 min 42 s.

Paso de medidas incomplejas a complejas

Tenemos dos casos:

1 Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir.

7520''

2 Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar.

El sistema circular.

 En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián".

 Un radián, es el ángulo cuyos lados comprenden un arco a la circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Un radián equivale a 57° 17’ 44.81‘’

        Para encontrar la medición de cualquier ángulo utilizamos el transportador, que usualmente está dividido en 360 partes iguales y cada una de esas partes equivalen a un grado, es decir, está en el sistema sexagesimal.

        Para encontrar qué tantos grados hay en ángulo, utilizando el transportador, se procede como sigue.

1.- Se hace coincidir la referencia y el cero del transportador con el vértice, de tal modo, que la parte horizontal de la referencia, ( ^ ) con el lado horizontal del ángulo y el otro lado del ángulo marcará en el transportador la magnitud del mismo.

la circunferencia

circunferencia
 Definición. Se llama circunferencia al conjunto de puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.


Elementos:

• Centro. Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.

• Radio. Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia, se representa por R o r.

• Diámetro. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro contiene a dos veces el radio.

• Cuerda. Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

La máxima cuerda es el diámetro.

• Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

• Arco. Un arco es una porción de la circunferencia comprendido entre dos Puntos

• Tangente. Es una recta que tiene un punto común con la circunferencia. Al punto común se le llama punto tangente.

• Flecha o Sagita. Segmento perpendicular a una cuerda en su su punto medio.

Propiedades Asociadas a los Elementos

• El radio es perpendicular a la tangente.

• Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.

• A arcos congruentes le corresponde cuerdas congruentes.

• Un radio perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda y al arco correspondiente en partes congruentes.

• Por un punto exterior a una circunferencia sólo se puede trazar dos tangentes, estas tangentes son congruentes.

• Tangentes comunes exteriores

• Tangente comunes interiores

Definición importante y teoremas

• Circunferencia Inscrita:

Circunferencia inscrita en un triángulo es la circunferencia que es tangente a los tres lados. Al radio de esta circunferencia tambien se llama inradio.

• La circunferencia es inscrita en el triangulo ABC.
• El triángulo es circunscrito a la circunferencia.
• r se llama inradio.
• Cuadrilátero Circunscrito

Un cuadrilátero es circunscrito a una circunferencia cuando sus cuatro lados son congruentes a dicha circunferencia.

• El cuadrilátero ABCD es circunscrito a la circunferencia.
• La circunferencia es inscrita en el cuadrilatero ABCD

 Teorema de Poncelet

En todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa, más el doble del radio de la circunferencia inscrita.




Teorema de Pitot

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de los lados opuestos, es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados opuestos.

• Teorema de Steiner

En todo cuadrilátero exinscrito a una circunferencia, la diferencia de las longitudes de dos lados opuestos, es igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados opuestos.


Ángulos en la Circunferencia

• Angulo central

El vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, sus lados son dos radios. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados.

• Ángulo inscrito

Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son dos cuerdas. La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.

• Ángulo seminscrito

El vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son una tangente u una cuerda. La medida del ángulo seminscrito es inscrito es igual a la mitad del arco correspondiente a la cuerda.

• Ángulo exinscrito

Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, este ángulo es el adyacente suplementario de un ángulo inscrito.

• Ángulo interior

El vértice se encuentra en el interior de la circunferencia, sus lados son dos segmentos de cuerda. La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y las prolongaciones de los lados.

• Ángulo exterior

Su vértice es exterior a la circunferencia, sus lados pueden ser dos secantes, una tangente y una secante o dos tangentes. La medida del ángulo interior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Pitágoras de Samos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

 

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

poligonos

 un polígono es una figura plana que está limitada por una curva cerrada, compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado a veces su cuerpo.

 

Los lados de un polígono son los segmentos que lo limitan.

Nombres de los polígonos

Atendiendo al número de lados, los polígonos reciben los siguientes nombres:

Triángulos

Tienen 3 lados.

Cuadriláteros

Tienen 4 lados.

Pentágonos

Tienen 5 lados.

Hexágonos

Tienen 6 lados.

Heptágonos

Tienen 7 lados.

Octágonos

Tienen 8 lados.

Eneágono

Tiene los 9 lados.

Decágono

Tiene 10 lados.

Endecágono

Tiene 11 lados.

Dodecágono

Tiene 12 lados.

isosceles

triángulo isósceles

Triángulo en el que al menos dos lados son congruentes. A los lados congruentes se les llama catetos. El ángulo formado por los catetos es el ángulo vértice. Los otros dos ángulos son los ángulos base. La base es el lado opuesto al ángulo vértice.

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semejanza de triangulos y teoreme de tales

semejanza de triangulos

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.

Son ángulos homólogos:

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.

La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza.

teorema de tales

Primer teorema

Una aplicación del Teorema de Thales.

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

Teorema primero Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes. Tales de Mileto

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Segundo teorema

fig 2.1 Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Teorema segundo Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto. Tales de Mileto

Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

tres demostraciones de los tres criterios de congruencia

En geometría, dos conjuntos de puntos son congruentes (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.



 Congruencia de triángulosDos triángulos son congruentes si sus ángulos correspondientes tienen la misma medida, y sus lados homólogos miden lo mismo. Sin embargo, para construir un triángulo congruente, es necesario conocer tres de sus medidas, y uno de esos datos debe ser la medida de un lado.
Como los elementos primarios de los triángulos (ángulos y lados) son dependientes, la información mínima necesaria para que los triángulos sean congruentes responde a los llamados criterios de congruencia:

Criterios de congruencia de triángulos
1. Criterio (L, L, L)
Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes:

2. Criterio (L, A, L)Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos congruentes.

3. Criterio (A, L, A)Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes y el lado comprendido entre ellos congruentes.

porque los angulos interiores de un triangulo suman 180 grados

Porque un triángulo es un polígono, en el cual hace los tres lados determinados por esos tres segmentos de las tres rectas se corten, por el cual si al triángulo se lo pone todos sus lados en líneas rectas formaría un ángulo llano (el cual es de 180°), por este motivo tendrán que dar la suma de sus ángulos 180°.
Toma en cuenta estás consideraciones que debe cumplir el triángulo:

*En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.
*En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
*Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes.
*Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendidos.
*Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.
*En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
*Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales.
*En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

angulos adyacentes y congruencia de triangulos

Ángulos adyacentes.

Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común.

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos de igual medida o congruentes, así como lados de igual medida o congruentes.

 Condiciones de congruencia

Para que se dé la congruencia de dos o más triángulos, se requiere que sus lados respectivos sean congruentes, es decir que tengan la misma medida. Esta condición implica que los ángulos respectivos también tienen la misma medida o son congruentes. Las figuras congruentes son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homologas o correspondientes.

 Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son, sin embargo, puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son homólogas

caracteristicas de 2 triangulos

 triángulo equilátero, es un triángulo con tres lados iguales. En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí, cada ángulo vale 60°. Un triángulo equilátero es un polígono regular; es un caso especial de triángulo isósceles.

Triángulo Escaleno
	Un triángulo con todos los lados de diferentes longitudes. Ningún lado es igual a otro ni ningún ángulo es igual a otro.