la circunferencia

circunferencia
 Definición. Se llama circunferencia al conjunto de puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.


Elementos:

• Centro. Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.

• Radio. Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia, se representa por R o r.

• Diámetro. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro contiene a dos veces el radio.

• Cuerda. Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

La máxima cuerda es el diámetro.

• Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

• Arco. Un arco es una porción de la circunferencia comprendido entre dos Puntos

• Tangente. Es una recta que tiene un punto común con la circunferencia. Al punto común se le llama punto tangente.

• Flecha o Sagita. Segmento perpendicular a una cuerda en su su punto medio.

Propiedades Asociadas a los Elementos

• El radio es perpendicular a la tangente.

• Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.

• A arcos congruentes le corresponde cuerdas congruentes.

• Un radio perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda y al arco correspondiente en partes congruentes.

• Por un punto exterior a una circunferencia sólo se puede trazar dos tangentes, estas tangentes son congruentes.

• Tangentes comunes exteriores

• Tangente comunes interiores

Definición importante y teoremas

• Circunferencia Inscrita:

Circunferencia inscrita en un triángulo es la circunferencia que es tangente a los tres lados. Al radio de esta circunferencia tambien se llama inradio.

• La circunferencia es inscrita en el triangulo ABC.
• El triángulo es circunscrito a la circunferencia.
• r se llama inradio.
• Cuadrilátero Circunscrito

Un cuadrilátero es circunscrito a una circunferencia cuando sus cuatro lados son congruentes a dicha circunferencia.

• El cuadrilátero ABCD es circunscrito a la circunferencia.
• La circunferencia es inscrita en el cuadrilatero ABCD

 Teorema de Poncelet

En todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa, más el doble del radio de la circunferencia inscrita.




Teorema de Pitot

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de los lados opuestos, es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados opuestos.

• Teorema de Steiner

En todo cuadrilátero exinscrito a una circunferencia, la diferencia de las longitudes de dos lados opuestos, es igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados opuestos.


Ángulos en la Circunferencia

• Angulo central

El vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, sus lados son dos radios. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados.

• Ángulo inscrito

Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son dos cuerdas. La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.

• Ángulo seminscrito

El vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son una tangente u una cuerda. La medida del ángulo seminscrito es inscrito es igual a la mitad del arco correspondiente a la cuerda.

• Ángulo exinscrito

Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, este ángulo es el adyacente suplementario de un ángulo inscrito.

• Ángulo interior

El vértice se encuentra en el interior de la circunferencia, sus lados son dos segmentos de cuerda. La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y las prolongaciones de los lados.

• Ángulo exterior

Su vértice es exterior a la circunferencia, sus lados pueden ser dos secantes, una tangente y una secante o dos tangentes. La medida del ángulo interior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.